Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为椭圆C上的不同两点，已知向量

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

•

n

=0．已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，可得a=2；
（2）可判断直线AB存在斜率，设AB方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k²）x²+2kpx+p²-4=0，由

m

•

n

=0，得x1x2+

y1y2

4

=0，将y₁=kx₁+p，y₂=kx₂+p代入上式并整理得，
（4+k²）x₁x₂+kp（x₁+x₂）+p²=0，代入韦达定理可得k，p的方程，根据点到直线的距离公式、弦长公式及三角形的面积公式可用k，p表示出S_△AOB，消掉k后可得常数；

解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=

3

2

，短轴长为2，
∴b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

，即

a2-1

a

=

3

2

，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为

y2

4

+x2=1；
（2）若直线AB的斜率不存在，则x₁=x₂，y₁=-y₂
由

m

•

n

=0，得x1x2+

y1y2

4

=0，即x12+

y12

4

=0，
因为点A在椭圆上，所以x12+

y12

4

=1，与上式矛盾，
故直线AB存在斜率，
设方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k²）x²+2kpx+p²-4=0，
由

m

•

n

=0，得x1x2+

y1y2

4

=0，即4x₁x₂+y₁y₂=0，
将y₁=kx₁+p，y₂=kx₂+p代入上式并整理得
∴（4+k²）x₁x₂+kp（x₁+x₂）+p²=0，
将x1+x2=-

2kp

k2+4

，x1x2=

p2-4

k2+4

，代入上式并整理得2p²=k²+4，
∵O到直线AB的距离为

|p|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

•

|p|

1+k2

•|AB|=

1

2

•

|p|

1+k2

•

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

|p| 4k2+16-4p2

k2+4

=

|p| 8p2-4p2

2p2

=1，
综上可知，△AOB的面积为定值1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程、平面向量数量积运算等知识，综合性强，运算量大，能力要求较高．