Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S(n)=(

1

3

)n-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和T（n）满足T(n)-T(n-1)=

T(n)

+

T(n-1)

（n≥2）．
（1）设dn=

Tn

，求证数列{d_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为P（n），问P（n）＞

1000

2009

的最小正整数n是多少？．

Answer 1

分析：（1）由S(n)=(

1

3

)n-c得a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

，再由{a_n}是等比数列得

a

2 2

=a1a 3即(-

2

9

)2=(

1

3

-c)(-

2

27

)，由此能证明数列{d_n}为等差数列，并能求出其通项公式．
（2））由b₁=1，b_n=n²-（n-1）²=2n-1和{a_n}是等比数列，a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

，c=1，能导出b_n=2n-1，an=-

2

3n

．
（3）P(n)=

1

1•3

+

1

3•5

+

1

5•7

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，由此能求出适合条件的最小正整数n的值为112．

解答：解：（1）由S(n)=(

1

3

)n-c得a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

数列{a_n}是等比数列得：

a

2 2

=a1a 3即(-

2

9

)2=(

1

3

-c)(-

2

27

)
所以c=1．（2分）
因为b_n＞0所以T（n）＞0

T(n)

-

T(n-1)

=1，n≥2
即d（n）-d（n-1）=1，d（1）=1所以数列{d_n}为等差数列．d（n）=n，T（n）=n²（6分）
（2）∵b₁=1，b_n=n²-（n-1）²=2n-1，当n=1时，2n-1=b₁，∴b_n=2n-1
∵{a_n}是等比数列，得a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

，c=1，
∴an=-

2

3n

（10分）
（3）P(n)=

1

1•3

+

1

3•5

+

1

5•7

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

n

2n+1

（12分）
所以

n

2n+1

＞

1000

2009

n＞

1000

9

所以适合条件的最小正整数n的值为112．（15分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．