Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列命题：①b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；②c=0时，y=f（x）是奇函数；③方程f（x）=0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为     ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，依次分析三个命题，①b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=，如图①，结合图形作答．
②c=0时，f（x）=x|x|+bx，显然是奇函数，③当c=0，b＜0时，如图②，f（x）=x|x|+bx=，结合图形作答．
解答：解：①b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=，如图①，曲线与x轴只有一个交点，
所以方程f（x）=0 只有一个实数根，正确．
②c=0时，f（x）=x|x|+bx，显然是奇函数．
③当c=0，b＜0时，如图②，f（x）=x|x|+bx=，
方程f（x）=0可以有三个实数根．
综上所述，正确命题的序号为①②．

点评：本题考查函数的奇偶性，方程根的个数判断，体现了数形结合的数学思想．