Question

如图22，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.

图22

（1）求证：EN∥平面PCD；

（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；

（3）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.

Answer 1

(1)证明:∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,

∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,

∴AD∥MN.∴MN∥BC.

∴点M为PC的中点.∴MNBC.

又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形.

∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.

（2）证明:连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD=60°,

∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.

又∵PA=AB且N为PB的中点,

∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.

∴平面PBC⊥平面ADMN.

（3）解：作EF⊥AB，连接PF，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.

∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.

又在Rt△AEB中，BE=，AE=1，AB=2,∴EF=.又∵PE=,∴tan∠PFE===2,

即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.