Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB₁上，且BD=

1

3

BB1，A₁C∩AC₁=E．
（Ⅰ）求证：直线DE与平面ABC不平行；
（Ⅱ）设平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=

7

7

，求AA₁的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面ADC₁∩平面ABC=l，求直线l与DE所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出

DE

=（-2，3，

h

6

），平面ABC的法向量为

n1

=(0，0，1)，可得

DE

•

n1

=

h

6

≠0，即可证明直线DE与平面ABC不平行；
（Ⅱ）求出平面ADC₁的法向量，利用平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=

7

7

，建立方程，即可求得结论．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求出直线l与DE的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 解：依题意，可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设AA₁=h，
则B(2，0，0)，C(0，6，0)，D(2，0，

h

3

)，A1(0，0，h)，C1(0，6，h)，E(0，3，

h

2

)．（2分）

（Ⅰ）证明：由AA₁⊥平面ABC可知

n1

=(0，0，1)为平面ABC的一个法向量．
∵

DE

=（-2，3，

h

6

），
∴

DE

•

n1

=(-2，3，

h

6

)•(0，0，1)=

h

6

≠0．（3分）
∴直线DE与平面ABC不平行．（4分）
（Ⅱ）设平面ADC₁的法向量为

n2

=(x，y，z)，
则

n2 • AD =(x，y，z)•(2，0， h 3 )=2x+ h 3 z=0\hfill n2 • AC1 =(x，y，z)•(0，6，h)=6y+hz=0\hfill

，（5分）
取z=-6，则x=y=h，故

n2

=(h，h，-6)．（6分）
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

6

1× 2h2+36

=

7

7

，（7分）
解得h=6

3

．
∴AA1=6

3

．（8分）
（Ⅲ）在平面BCC₁B₁内，分别延长CB、C₁D，交于点F，连结AF，
则直线AF为平面ADC₁与平面ABC的交线．（9分）
∵BD∥CC₁，BD=

1

3

BB1=

1

3

CC1，
∴

BF

FC

=

BD

CC1

=

1

3

．
∴

BF

=

1

2

CB

，
∴

AF

=

AB

+

BF

=

AB

+

1

2

CB

=(2，0，0)+

1

2

(2，-6，0)=(3，-3，0)．（11分）
由（Ⅱ）知，h=6

3

，故

DE

=(-2，3，

h

6

)=(-2，3，

3

)，
∴cos＜

AF

，

DE

＞=

AF • DE

| AF || DE |

=

-15

3 2 ×4

=-

5

8

2

．（12分）
∴直线l与DE所成的角的余弦值为|-

5

8

2

|=

5

8

2

．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查异面直线的夹角，正确运用向量法是关键．