分析 (1)令g(x)=$\frac{f(x)}{{x}^{3}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$,求出g(x)的最小值,从而求出m的最小值即可;
(2)求出f(x)的单调性,画出函数图象结合图象,求出a的范围即可.
解答 解:(1)令g(x)=$\frac{f(x)}{{x}^{3}}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$,g′(x)=$\frac{{e}^{x}(x-1)}{{x}^{2}}$,
令g′(x)>0,解得:x>1,令g′(x)<0,0<x<1,
∴g(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
∴g(x)min=g(1)=e,
∴若函数h(x)=$\frac{f(x)}{{x}^{3}}$-m在(0,+∞)上存在零点,
只需m≥g(x)min=g(1)=e,
∴m的最小值是e;
(2)令f′(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=0,得x=-2,
令f′(x)>0,解得:x<-2,令f′(x)<0,解得:-2<x<0,
∴f(x)在(-∞,-2)递增,在(-2,0)递减,
∴当x=-2时,函数有极大值即最大值,且f(-2)=4e-2,
画出函数图象,如图示:
,
若f(x)<ax与f(x)<a2对x∈(-∞,0)恰有一个恒成立,
显然f(x)≥ax且f(x)<a2恒成立,由a2>4e-2,解得a>$\frac{2}{e}$或a<-$\frac{2}{e}$(舍),
故a>$\frac{2}{e}$.
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及数形结合思想,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{11}{2}$ | B. | 6 | C. | $\frac{13}{2}$ | D. | 7 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-1,+∞) | B. | (-1,1] | C. | (-∞,1) | D. | [-1,1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | c<b<a | B. | a<c<b | C. | a<b<c | D. | b<a<c |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 192 | B. | 228 | C. | 300 | D. | 180 |
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