B
分析:首先利用导数的几何意义及函数f(x)过原点,列方程组求出f(x)的解析式;然后根据奇函数的定义判断函数f(x)的奇偶性,且由f′(x)的最小值求出k的最大值,则命题(1),(3)得出判断;最后令f′(x)=0,求出f(x)的极值点,进而求得f(x)的单调区间与最值,则命题(2)得出判断.
解答:函数f(x)=x
3+ax
2+bx+c的图象过原点,可得c=0;
又f′(x)=3x
2+2ax+b,且f(x)在x=±1处的切线斜率均为-1,
则有
,解得a=0,b=-4.
所以f(x)=x
3-4x,f′(x)=3x
2-4.
(1)可见f(x)=x
3-4x,因此(1)正确;
(2)令f′(x)=0,得x=±
.因此(2)不正确;
所以f(x)在[-
,
]内递减,
(3)f(x)的极大值为f(-
)=
,极小值为f(
)=-
,两端点处f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值为M=
,最小值为m=-
,则M+m=0,因此(3)正确.
故选B.
点评:本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法.