Question

已知数列{a_n}是首项及公比都为2的等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b_n=2ⁿ•log

1

2

an，则使S_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整数n等于（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{a_n}是首项及公比都为2的等比数列，可得a_n=2ⁿ．b_n=2ⁿ•log

1

2

a_n=-n•2ⁿ，利用“错位相减法”可得S_n，代入解出即可．

解答： 解：∵数列{a_n}是首项及公比都为2的等比数列，∴a_n=2ⁿ．
∵满足b_n=2ⁿ•log

1

2

a_n=-n•2ⁿ，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n×2ⁿ，
-2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ--n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2．
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹=30，
∴2ⁿ⁺¹-2=30，
解得n=4．
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整数n=4．
故选：A．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．