Question

19．若{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}是空间的一个基底，试判断{$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$}能否作为空间的一个基底．

Answer 1

分析 利用空间向量基本定理即可得出．

解答 解：假设{$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$}不能作为空间的一个基底．
则存在实数x，y使得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=x（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）+y（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$），
即（1-y）$\overrightarrow{a}$+（1-x）$\overrightarrow{b}$-（x+y）$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-y=0}\\{1-x=0}\\{-（x+y）=0}\end{array}\right.$，此方程组无解，
因此假设不正确，
∴{$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$}能作为空间的一个基底．

点评 本题考查了空间向量基本定理、共面向量基本定理、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．