Question

甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为

3

5

，乙与丙击中目标的概率分别为m、n（m＞n），每人是否击中目标是相互独立的．记目标被击中的次数为ξ，且ξ的分布列如下表：
（I） 求m，n的值；
（II） 求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据所给的分布列，结合变量对应的事件，用m，n写出概率的表示式，得到关于m，n的方程组，解方程组得到要求的m，n的值．
（II）需要先做出两个变量对应的概率，结合变量对应的事件，写出a，b对应的表示式，把得到结果代入求变量的期望值的式子，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题设可得
P（ξ=0）=

2

5

(1-m)(1-n)=

1

15

，
∴化简得mn-（m+n）=-

5

6

  ①
P（ξ=1）=

3

5

（1-m）（1-n）+

2

5

m（1-n）+

2

5

n（1-m）
=

1

10

+

2

5

(m+n)-

4

5

mn=

3

10

∴m+n-2mn=

1

2

      ②
联立①②可得m=

2

3

，n=

1

2

（Ⅱ）由题设得：b=P（ξ=3）=

3

5

×

2

3

×

1

2

=

1

5

∴a=1-（

1

15

+

1

10

+

1

5

）=

13

30

∴Eξ=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

点评：本题考查离散型随机变量的分布列及分布列的应用，考查离散型随机变量的期望，本题是一个基础题，题目的运算量不大，是一个理科近几年常考到的题目．