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是一常数,过点的直线与抛物线交于相异两点AB,以线段AB为直经作圆HH为圆心)。试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

  
     

Y

     
 

 


  
     

y2=2px

     
 

  
     

B

     
 

 

 

 

 


  
     

X

     
 

  
     

Q(2p,0)

     
 
  
     

O

     
 

  
     

A

     
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案:
解析:

解法一:由题意,直线AB不能是水平线,  故可设直线方程为:.

      又设,则其坐标满足

      消去x得 

      由此得  

     

      因此.

      故O必在圆H的圆周上.

      又由题意圆心H()是AB的中点,故

     

      由前已证,OH应是圆H的半径,且.

      从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.

      此时,直线AB的方程为:x=2p.

      解法二:由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:ky=x-2p

      又设,则其坐标满足

      分别消去x,y得

      故得A、B所在圆的方程

      明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,

      又知A、B中点H的坐标为

      故

      而前面圆的方程可表示为

      故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0).

      又

      故当k=0时,R2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB的方程为:x=2p.

      解法三:同解法一得O必在圆H的圆周上

      又直径|AB|=

      上式当时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.

      此时直线AB的方程为x=2p.

 


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Y

     
 

 


  
     

y2=2px

     
 

  
     

B

     
 

 

 

 

 


  
     

X

     
 

  
     

Q(2p,0)

     
 
  
     

O

     
 

  
     

A

     
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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