Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过A点作面A₁BD的垂线，垂足为P．则下列命题：
①P是△A₁BD的重心；
②AP也垂直于面CB₁D₁；
③AP的延长线必通过点C₁；
④AP与面AA₁D₁D所成角为45°．
其中，正确的命题是（ ）

A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：在正方体中，体对角线与过端点的三条棱的另三个端点确定的平面是垂直的，且垂足也是该三角形的重心，由此判断即得
解答：解：如图由正方体的性质知面A₁BD与体对角线AC₁垂直，三角形A₁BD是一个正三角形，
故它们的交点也是三角形的中心，面A₁BD与面CB₁D₁是平行的关系，且它也是一个正三角形；
由此则可以判断①P是△A₁BD的重心是正确的；
②AP也垂直于面CB₁D₁正确；
③AP的延长线必通过点C₁；正确；
④AP与面AA₁D₁D所成角为45°不正确，因为该线面角是∠C₁AD，其不是一个等腰直角三角形，
故选B．
点评：在几何体中考查点线面之间的关系和角与距离是近今年高考的一个趋势，因为此类题目比较灵活．