Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则（　　）

• A、f(sin

  2π

  3

  )＞f(cos

  2π

  3

  )
• B、f（sin1）＞f（cos1）
• C、f（tan3）＜f（tan6）
• D、f（sin2）＜f（cos2）

Answer 1

分析：先设x∈[-1，1]，则x+2∈[1，3]，根据f（x）=f（x+2）求出f（x）在[-1，1]上的解析式，根据解析式可知f（x）在[0，1]上单调减，在[-1，0]上单调增，对选项逐一检验．

解答：解：设x∈[-1，1]，则x+2∈[1，3]
∴f（x）=f（x+2）=2-|x+2-2|=-2-|x|
即f（x）=

-2-x，0≤x≤1 -2+x，-1≤x≤0

∴f(sin

2π

3

)-f(cos

2π

3

)=f（

3

2

）-f（-

3

2

）=-2-

3

2

+2+

3

2

=0
∴f(sin

2π

3

)=f(cos

2π

3

)，排除A
∵1＞sin1＞cos1＞0，f（x）在[0，1]上单调减
∴f（sin1）＜f（cos1），排除B
∵-1＜tan6＜tan3＜0，f（x）在[-1，0]上单调增
∴f（tan3）＞f（tan6），排除C
故选D

点评：本题主要考查了函数的周期性和单调性．在求函数的解析式的时候要特别注意x的范围．