Question

（2011•许昌三模）设f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（I）若f′ (1)=-

2

5

，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）若k＞0，试讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（I）先确定参数k的值，再求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程；
（II）当k＞0时，分类讨论．利用导数的正负，可讨论f（x）的单调性．

解答：解：（I）由于f(x)=kx-

k

x

-2lnx，则f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

∴f′(1)=k+k-2=-

2

5

，解得k=

4

5

∴f(2)=2×

4

5

-

4 5

2

-2ln2=

6

5

-2ln2且f′(2)=0
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（

6

5

-2ln2）=0（x-1），即y=

6

5

-2ln2；
（II）由（1）知，f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

（x＞0），
当△＞0，即0＜k＜1时，令f′（x）＞0，可得0＜x＜

1- 1-k2

k

或x＞

1+ 1-k2

k

令f′（x）＜0，可得

1- 1-k2

k

＜x＜

1+ 1-k2

k

；
当△≤0，即k≥1时，f′（x）≥0恒成立．
综上，当0＜k＜1时，函数的单调增区间为(0，

1- 1-k2

k

)，（

1+ 1-k2

k

，+∞）；
单调减区间为（

1- 1-k2

k

，

1+ 1-k2

k

）；
当k≥1时，函数的单调增区间为（0，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．