Question

设函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=

3

2

．
①用定义证明：f（x）是单调增函数；
②设g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，可得f（-x）+f（x）=0对于任意实数都成立．即可得出k．
（2）由（1）可知：f（x）=a^x-a^-x，利用f（1）=a-a^-1=

3

2

．又a＞0，解得a=2．可得f（x）=2^x-2^-x．任取实数x₁＜x₂，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可；
（3）由于a=2，可得g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x）=（2^x-2^-x）²-2（2^x-2^-x）+2，利用换元法令t=2^x-2^-x，则g（x）=y=h（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，利用（2）的结论和二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）∵函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=a^-x+ka^x+a^x+ka^-x=（k+1）（a^x+a^-x）=0对于任意实数都成立．
∴k=-1．
（2）由（1）可知：f（x）=a^x-a^-x，
∵f（1）=a-a^-1=

3

2

．又a＞0，解得a=2．
∴f（x）=2^x-2^-x．
任取实数x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=2x1-2-x1-(2x2-2-x2)=(2x1-2x2)(1+

1

2x1+x2

)，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，又2x1+x2＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）是单调增函数；
（3）∵a=2，∴g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x）=（2^x-2^-x）²-2（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x，则g（x）=y=h（t）=t²-2t+2=（t-1）²+1，
由（2）可知：t（x）在[1，+∞）上的单调递增，∴t≥2-

1

2

=

3

2

．
∴g（x）≥h(

3

2

)=

5

4

．∴g(x)min=

5

4

．

点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性、二次函数的单调性，属于中档题．