Question

已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a），f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）结合已知中函数的解析式及f′（-1）=0，构造方程求出a值，进而分析出函数的单调性后，求出函数的极值和端点对应的函数值，比照后可得答案．
（II）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均单调递增，则f′（x）=3x²-2ax-4≥0对（-∞，-2]恒成立且f′（x）=3x²-2ax-4≥0对[2，+∞）恒成立，解不等式组可得答案．

解答：解：（I）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=2x（x-a）+（x²-4）
又∵f′（-1）=-2×（-1-a）+（1-4）=0，
∴a=

1

2

∴f（x）=（x²-4）（x-

1

2

），
∴f′（x）=2x（x-

1

2

）+（x²-4）=3x²-x-4
令f′（x）=0，
解得x=-1，x=

4

3

，
当x∈[-2，-1]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数
当x∈[-1，4/3]时，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数，
当x∈[4/3，2]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数
又∵f（-2）=0，f（-1）=

9

2

，f（

4

3

）=-

50

27

，f（2）=0
可以得到最大值为

9

2

，最小值为-

50

27

（II）∵f（x）=（x²-4）（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax-4，
依题意：f′（x）=3x²-2ax-4≥0对（-∞，-2]恒成立，即
2ax≤3x²-4
∴a≥

3

2

x-

2

x

又∵y=

3

2

x-

2

x

在（-∞，-2]上为增函数，故x=-2时，

3

2

x-

2

x

取最大值-2，
所以a≥-2
f′（x）=3x²-2ax-4≥0对[2，+∞）恒成立，即
2ax≤3x²-4
∴a≤

3

2

x-

2

x

又∵y=

3

2

x-

2

x

在[2，+∞）上为增函数，故x=2时，

3

2

x-

2

x

取最小值2，
所以a≤2
故a的取值范围为[-2，2]．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度较大．