Question

已知命题p：“关于x的方程x²+2mx+1=0有两个不相等的实根”；命题q：“函数f（x）=x²-2（m-2）x+1在（1，2）上单调递减”．
（Ⅰ）求命题p与命题q分别为真命题时相应的实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∧（?q）”为真命题． 求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用命题p与命题q分别为真，可以求出实数m的取值范围．
（Ⅱ）利用复合命题命题“p∧（?q）”为真命题． 可以求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵方程x²+2mx+1=0有两个不相等的实根，
∴△=4m²-4＞0．（1分）
解得：m＞1或m＜-1…（3分）
∴命题 p为真时，实数m的取值范围为：（-∞，-1）∪（1，+∞）…（4分）
又∵函数f（x）=x²-2（m-2）x+1在（1，2）上单调递减，
且函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程是：x=m-2．
∴m-2≥2，得∴m≥4．
∴命题q为真时，实数m的取值范围为：[4，+∞）…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知?q：m＜4
又因为命题“p∧（?q）”为真命题，所以p真且?q真．
  

m＞1或m＜-1 m＜4

      解得：m＜-1或1＜m＜4  …（11分）
∴p∧（?q）为真命题时，实数m的取值范围为 （-∞，-1）∪（1，4）…（12分）

点评：本题主要考查利用复合命题的真假求参数的取值问题，要熟练掌握复合命题和简单命题之间的关系．