Question

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=

-x3+x2+bx+c，(x＜1) alnx，(x≥1)

和图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值；
（3）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，根据函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，图象过坐标原点，即可求得实数b，c的值；
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，求导函数，确定函数的单调性，计算函数值，从而可得函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值；
（3）设P（x₁，f（x₁）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），根据OP⊥OQ，可得

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，分类讨论，确定函数的解析式，利用

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，即可求得结论．

解答：解：（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2x+b
∵函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，∴f′（-1）=-5
∴-3-2+b=-5，∴b=0
∵f（0）=0，∴c=0
∴b=0，c=0
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，∴f′（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0有-3x²+2x=0，∴x=0或x=

2

3

令f′（x）＞0，可得0＜x＜

2

3

；令f′（x）＜0，∵-1≤x≤1，∴-1≤x＜0或

2

3

＜x≤1
∴函数在-1，0，

2

3

，1出取得最值
∵f（-1）=2，f（0）=0，f（

2

3

）=

4

27

，f（1）=0
∴函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为0；
（3）设P（x₁，f（x₁）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x₁，f（-x₁）），
∵OP⊥OQ，∴

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1
①当x₁=1时，f（x₁）=0；当x₁=-1时，f（-x₁）=0，∴

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

≠-1；
②当-1＜x₁＜1时，f（x₁）=-x13+x12，f（-x₁）=x13+x12，代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得(-x13+x12)(x13+x12)=x12，∴x14-x13+1=0，无解；
③当x₁＞1时，f（x₁）=alnx₁，f（-x₁）=x13+x12，代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得

1

a

=(x1+1)lnx1；
设g（x₁）=（x₁+1）lnx₁（x₁＞1），∴g′（x₁）=lnx₁+

x1+1

x1

＞0，∴g（x₁）是增函数
∵g（1）=0，∴g（x₁）值域是（0，+∞）
∴对任意给定的正实数a，

1

a

=(x1+1)lnx1恒有解，满足条件
④由P，Q横坐标的对称性可得，当x₁＜-1时，f（x₁）=-x13+x12，f（-x₁）=aln（-x₁），
代入

f(x1)

x1

•

f(-x1)

-x1

=-1，可得

1

a

=(-x1+1)ln(-x1)
设h（x₁）=（-x₁+1）ln（-x₁）（x₁＜-1），∴h′（x₁）=-ln（-x₁）-

x1-1

x1

＜0，∴h（x₁）是减函数
∵h（-1）=0，∴h（x₁）值域是（0，+∞）
∴对任意给定的正实数a，

1

a

=(-x1+1)ln(-x1)恒有解，满足条件
综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类，灵活运用导数是关键．