Question

某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值为R（x）=3700x+45x²-10x³（万元），成本函数为C（x）=460x+5000（万元）．又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为M f（x）=f（x+1）-f（x）求：
（1）利润函数p（x）及边际利润函数M p（x）；
（2）年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得边际函数．
（2）由利润函数p（x）是二次函数，故可以求出函数p（x）的最大值p（x）_max；边际利润函数为Mp（x）是一次函数，也可以求出其最大值．

解答：解：（1）p（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N，且x∈[1，20]），…（3分）
M p（x）=P（x+1）-P（x）=-30x2+60x+3275，（x∈N，且x∈[1，19]），…（6分）
每个定义域（1分）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240（x∈[1，20]…（7分）
=-30（x+9）（x-12）…（8分）
当1＜x＜12时，P′（x）＞0，P（x）为单调递增；…（11分）
当12＜x＜20时，P′（x）＜0，P（x）为单调递减，…（14分）
所以x=12时，p（x）取得最大值，…（15分）
即年造船12艘时，可使公司造船的年利润最大．…（16分）
没答或必要的所有扣（1分）．

点评：本题考查了利润函数模型的应用，本题中利润函数是二次函数，利用配方法或图象的对称轴，都可以得出函数的最大值，需要注意自变量的取值是正整数．