Question

已知数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）设b= (n∈N，n≥2), b,

       求证：b₁+b₂……+b_n< 3；

（3）设点M(n,b)((n∈N，n>2)在这些点中是否存在两个不同的点同时在函数

y =(k>0)的图象上,如果存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）解法一∵ ∴

       ∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即

      

解法二、…………………………①

       …………………………②

       ②－①得

      

        为公比为2，首项为2的等比数列.

       递推迭加得

      

   （也可用数学归法证明：）

   （2）b== =

   ≤(n≥2)

       ∴b+b+……+b

       =1+

       n=1时,b₁=1<3 成立, 所以b₁+b₂+……+b_n< 3 .

       假设有两个点A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

   即_{, ,   ∴}

               _……①  

       以下考查数列，的增减情况，，

              _{当n>2时，n2 －3n+1>0 ,所以对于数列{Cn }有C2>C3>C4>……> Cn >……，}

              _{所以不可能存在p，q使①成立,因而不存在这样的两个点.}