Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一条准线方程为l：x=-

5

2

，且左焦点F到的l距离为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于两点A、B、交l于点M，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，证明λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用准线方程求得a和c的关系式，左焦点F到的l距离求得a和c的另一关系式，进而与a²=b²+c²联立方程求得a，b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）先看当斜率为0时，可求得A，B和M的坐标，则λ₁+λ₂可求得；再看当斜率不为0时，可设直线AB方程与椭圆的方程联立，求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，分别求得λ₁和λ₂的表达式，则λ₁+λ₂的值可求．

解答：解：（Ⅰ）依题意有

- a2 c =- 5 2 a2 c -c= 1 2 a2=b2+c2

，解方程组得

a2=5 b2=1 c2=4

∴椭圆C的方程为

x2

5

+y²=1．
（Ⅱ）依题意可知直线AB的斜率存在，
当斜率为0时，直线y=0和椭圆交于A（-

5

，0），B（

5

，0），和直线l交于M（-

5

2

，0）点，
则易知λ₁+λ₂=0．
当斜率不为0时，可设直线AB方程为x=my-2（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-

5

2

，-

1

2m

），由

x=my-2 x2 5 +y2=1

得（m²+5）y²-4my-1=0，
由根与系数的关系得y₁+y₂=

4m

m2+5

，y₁y₂=-

1

m2+5

，
又∵

MA

=λ1

AF

∴y₁+

1

2m

=-λ₁y₁，λ₁=-

1

2my1

-1，同理λ₂=-

1

2my2

-1
∴λ₁+λ₂=-2-

1

2m

•

y1+y2

y1y2

=-2-

1

2m

（-4m）=0
∴λ₁+λ₂为定值
综上所述λ₁+λ₂为定值

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，平时应作为重点来复习．