【题目】设函数,若曲线
在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求证:在曲线上任意一点处的切线与直线
和
所围成的三角形面积为定值,并求出此定值.
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【题目】已知,且
,函数
,其中
为自然对数的底数:
(1)如果函数为偶函数,求实数
的值,并求此时函数的最小值;
(2)对满足,且
的任意实数
,证明函数
的图像经过唯一的定点;
(3)如果关于的方程
有且只有一个解,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率
,
在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线(斜率存在)与椭圆相交于点
两点,且
的面积
,若
为线段
的中点.
点在
轴上投影为
,问:在
轴上是否存在两个定点
,使得
为定值,若存在求出
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】以原点为圆心,半径为的圆
与直线
相切.
(1)直线过点
且
截圆
所得弦长为
求直线
的方程;
(2)设圆与
轴的正半轴的交点为
,过点
作两条斜率分别为
的直线交圆
于
两点,且
,证明:直线
恒过一个定点,并求出该定点坐标.
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【题目】如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(2,4),圆
,过圆心
的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则
的最小值为________.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是棱
上的点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若异面直线与
所成角的余弦值为
,求
的值.
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【题目】中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族,各民族有许多优良的传统习俗,如过大年吃饺子,元宵节吃汤圆,端午节吃粽子,中秋节吃月饼等等,让人们感受到浓浓的节目味道,某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子,一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭,当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子,其中肉馅饺子4个,蛋馅饺子和素馅饺子各2个,若在桌上上一盘饺子大家共同吃,记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为,若每个人各上一盘饺子,记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为
,假设每个人都吃饺子,且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子.
(1)求随机变量的分布列;
(2)若的数学期望分别记为
、
,求
.
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