Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距为$2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2与椭圆交于C，D两点．问是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出椭圆的a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求得k的范围，再由向量数量积为0求得k值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，2c=$2\sqrt{2}$，
∴$c=\sqrt{2}$，$a=\sqrt{3}$，则b²=a²-c²=1．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
△=（12k）²-36（1+3k²）=36k²-36＞0，得k＜-1或k＞1．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+2）（k{x}_{2}+2）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+2k（x₁+x₂）+4．
若存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点O，
则$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．
即$（1+{k}^{2}）•\frac{9}{1+3{k}^{2}}+2k•\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}+4=0$，
解得：k=$±\frac{\sqrt{39}}{3}$，满足题意．
∴存在常数k=$±\frac{\sqrt{39}}{3}$，使得以CD为直径的圆过坐标原点O．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了由向量数量积为0判断两直线垂直的关系，是中档题．