Question

满足一定条件的三角形如果周长和面积同时取得最小值（或最大值），则称此三角形为“周积三角形”．如图所示的△ABC满足∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，且AD=1．设AB=x，AC=y．
（I）将y表示成x的函数；
（II）判断此三角形是否为“周积三角形”，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，结合三角形的面积公式，可得函数解析式；
（II）由（I）知x+y=xy≥2

xy

，所以xy≥4．令t=xy（t≥4），表示出△ABC的周长与面积，可得t=4（x=y=2）时，△ABC的周长和面积同时取得最小值．

解答：解：（1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC得

1

2

xsin60°+

1

2

ysin60°=

1

2

xysin120°，∴x+y=xy，∴y=

x

x-1

(x＞1)．
（2）由（1）知x+y=xy≥2

xy

，所以xy≥4．
令t=xy（t≥4），记△ABC的周长为l（t），则l（t）=AB+AC+BC=x+y+

x2+y2+xy

=xy+

(xy)2-xy

=t+

t2-t

∵l′（t）=1+

2t-2

2 t2-t

＞0，函数l（t）是[4，+∞）上的增函数，所以当t=4（x=y=2）时，l（t）_min=l（4）=4+2

3

；
记△ABC的面积为m（t），则m（t）=

1

2

xysin120°=

3

4

t≥

3

，当t=4（x=y=2）时，m（t）_min=m（4）=

3

．
故△ABC的周长和面积同时取得最小值，此三角形是“周积三角形”．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查函数的最值，考查新定义，解题的关键是正确求出函数的最值．