Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足

.

A1P

=λ

.

A1B1

（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

Answer 1

分析：（1）以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断

.

PN

•

.

AM

=0，即PN⊥AM；
（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出sinθ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；
（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P的位置．

解答：解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．
则P（λ，0，1），N（

1

2

，

1

2

，0），M（0，1，

1

2

），（2分）
从而

.

PN

=（

1

2

-λ，

1

2

，-1），

.

AM

=（0，1，

1

2

），

.

PN

•

.

AM

=（

1

2

-λ）×0+

1

2

×1-1×

1

2

=0，
所以PN⊥AM．（3分）
（2）平面ABC的一个法向量为

n

=（0，0，1），
则sinθ=|sin（

π

2

-＜

.

PN

，

n

＞）|=|cos＜

.

PN

，

n

＞|
=|

PN • n

| PN | •| n |

|=

1

(λ- 1 2 )  2+ 5 4

（※）．（5分）
而θ∈[0，

π

2

]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=

π

2

除外，
由（※）式，当λ=

1

2

时，（sinθ）_max=

2 5

5

，（tanθ）_max=2．（6分）
（3）平面ABC的一个法向量为

n

=

.

AA 1

=（0，0，1）．
设平面PMN的一个法向量为

m

=（x，y，z），
由（1）得

.

MP

=（λ，-1，

1

2

）．
由

m • NP =0 m • MP =0

得

(λ- 1 2 )x- 1 2 y+z=0 λx-y+ 1 2 z=0.

解得

y= 2λ+1 3 x z= 2(1-λ) 3 x.

令x=3，得

m

=(3，2λ+1，2(1-λ))
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

|2(1-λ)|

9+(2λ+1)2+4(1-λ)2

=

2

2

，
解得λ=-

1

2

．（11分）
故点P在B₁A₁的延长线上，且|A₁P|=

1

2

．（12分）

点评：本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．