Question

【题目】已知以点C（t， ）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求证：△AOB的面积为定值．
（2）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意可得：圆的方程为： =t2+ ，化为：x2﹣2tx+y2﹣ =0．

与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B ．∴S△OAB= =4，为定值．

（2）解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，

OC的斜率k= = ，∴ ×（﹣2）=﹣1，解得t=±2，可得圆心C（2，1），或（﹣2，﹣1）．

∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，或（x+2）2+（y+1）2=5．

（3）解：由（2）可知：圆心C（2，1），半径r= ，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r= ﹣ =2 ，

则|PB|+|PQ|的最小值为2 ．

直线B′C的方程为：y= x，此时点P为直线B′C与直线l的交点，

故所求的点P ．

【解析】（1）由题意可得：圆的方程为： =t2+ ，化为：x2﹣2tx+y2﹣ =0．求出与坐标轴的交点，即可对称S△OAB．（2）由|OM|=|ON|，可得原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，

可得t，即可对称圆C的方程．（3）由（2）可知：圆心C（2，1），半径r= ，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r= ﹣ =2 ，进而得出．