Question

已知

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f(x)=

m

•

n

满足f(

π

6

)=2，且f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线x=

π

12

对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，

π

2

]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中

m

=(asinx，cosx)，

n

=(sinx，bsinx)，f(x)=

m

•

n

，我们可以求出函数的解析式，及导函数的解析式（含参数a，b），结合已知中，f(

π

6

)=2，导函数f'（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出a，b的值．
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，

π

2

]上总有实数解，即f（x）=-log₂k有解，求出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域B，再根据-log₂k∈B，构造关于k的对数方程，解方程即可求出答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=asin2x+bsinxcosx=

a

2

(1-cos2x)+

b

2

sin2x
由f(

π

6

)=2得，a+

3

b=8①
∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，∴f′(0)=f′(

π

6

)，
∴b=

3

2

a+

1

2

b，即b=

3

a②
由①、②得，a=2，b=2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cos2x+

3

sin2x=2sin(2x-

π

6

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log₂k=0有解，即f（x）=-log₂k有解，
∴-3≤log₂k≤0，解得

1

8

≤k≤1，即k∈[

1

8

，1]．

点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函数恒成立问题，数量积的坐标表达形式（1）的关键是根据已知条件，构造关于a，b的方程组，（2）的关键是求出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域B．