Question

20．如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB=45°，BC=2$\sqrt{2}$，AB=2．
（1）求AC的长；
（2）若PC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，点M在侧棱PB上，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MP}$，当λ为何值时，二面角B-AC-M的大小为30°．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用余弦定理，利能求出AC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量，利用向量法能求出当λ=1时，二面角B-AC-M的大小为30°．

解答 解：：（1）在△ABC中，
由余弦定理得AB²=BC²+AC²-2BC×AC×cos∠ACB，
得4=8+AC²+-4AC，解得AC=2．
（2）∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵点M在侧棱PB上，且$\overrightarrow{BM}$=$λ\overrightarrow{MP}$，
∴M（$\frac{2}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}λ}{1+λ}$），
设平面ACM的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=2x+2λy+\frac{2\sqrt{3}}{3}λz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}λ$，0，1），
平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角B-AC-M的大小为30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}{λ}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=1或λ=-1（舍），
∴当λ=1时，二面角B-AC-M的大小为30°．

点评 本题考查线段长的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．