Question

5．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，其一个顶点时抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的焦点．求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 由抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y，可得焦点F．由题意可设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．根据题意可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．联立解出即可．

解答 解：由抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y，可得焦点F$（0，-\sqrt{3}）$．
由题意可设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，其一个顶点时抛物线x²=-4$\sqrt{3}$y的焦点．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²．
解得c=1，a=2，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．