Question

14．已知幂函数$f（x）=（{m^2}+m-1）{x^{-2{m^2}+m+3}}$在（0，+∞）上为增函数，g（x）=-x²+2|x|+t，h（x）=2^x-2^-x
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）对于任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂），若f（x₁）=g（x₂），求实数t的值；
（3）若2^xh（2x）+λh（x）≥0对于一切x∈[1，2]成成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由幂函数的定义得：m=-2，或m=1，由f（x）在（0，+∞）上为增函数，得到m=1，由此能求出f（x）．
（2）g（x）=-x²+2|x|+t，据题意知，当x∈[1，2]时，f_max（x）=f（x₁），g_max（x）=g（x₂），由此能求出t．
（3）当x∈[1，2]时，2^xh（2x）+λh（x）≥0等价于λ（2^2x-1）≥-（2^4x-1），由此能求出λ的取值范围．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）由幂函数的定义可知：m²+m-1=1   即m²+m-2=0，
解得：m=-2，或m=1，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴-2m²+m+3＞0，解得-1＜m＜$\frac{3}{2}$
综上：m=1
∴f（x）=x²…（4分）
（2）g（x）=-x²+2|x|+t
据题意知，当x∈[1，2]时，f_max（x）=f（x₁），g_max（x）=g（x₂）
∵f（x）=x²在区间[1，2]上单调递增，
∴f_max（x）=f（2）=4，即f（x₁）=4
又∵g（x）=-x²+2|x|+t=-x²+2x+t=-（x-1）²+1+t
∴函数g（x）的对称轴为x=1，∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴g_max（x）=g（1）=1+t，即g（x₂）=1+t，
由f（x₁）=g（x₂），得1+t=4，∴t=3…（8分）
（3）当x∈[1，2]时，2^xh（2x）+λh（x）≥0等价于2^x（2^2x-2^-2x）+λ（2^x-2^-x）≥0
即λ（2^2x-1）≥-（2^4x-1），∵2^2x-1＞0，∴λ≥-（2^2x+1）
令k（x）=-（2^2x+1），x∈[1，2]，下面求k（x）的最大值；
∵x∈[1，2]∴-（2^2x+1）∈[-17，-5∴k_max（x）=-5
故λ的取值范围是[-5，+∞） …（12分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查实数值、取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．