Question

已知a＞0，命题p：?x＞0，x+

a

x

≥2恒成立；命题q：?k∈R直线kx-y+2=0与椭圆x2+

y2

a2

=1有公共点．是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：利用基本不等式求得命题p为真时a的取值范围；根据直线与椭圆的位置关系确定a满足的条件，再由复合命题真值表知，若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，求得a的范围．

解答：解：对?x＞0，∵x+

a

x

≥2

a

，
∴要使x+

a

x

≥2恒成立，∴有2

a

≥2⇒a≥1，
∴命题p为真时，a≥1；
∵?k∈R直线kx-y+2=0恒过定点（0，2），要使直线kx-y+2=0与椭圆x2+

y2

a2

=1有公共点．
∴有

22

a2

+0≤1，解得a≥2，
由复合命题真值表知，若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，
因此

a≥1 a≥2

⇒a≥2，
综上，存在a≥2使得命题p∧q为真命题．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出组成复合命题的简单命题为真时的条件．