Question

已知a为实数，函数f（x）=（1+ax）e^x，函数g(x)=

1

1-ax

，令函数F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若a=1，求函数f（x）的极小值；
（2）当a=-

1

2

时，解不等式F（x）＜1；
（3）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）a=1代入f（x），对其进行求导，得到极值点，利用导数研究函数的单调性问题；
（2）把a=-

1

2

代入f（x）和g（x），从而得到F（x），再代入不等式F（x）＜1进行求解；
（3）求导数F′（x），在定义域内解不等式F′（x）＞0，F^′（x）＜0，分a＜-

1

2

，a=-

1

2

，-

1

2

＜a＜0，三种情况进行讨论即可解得，由导数与函数单调性关系即得单调区间

解答：（1）由f'（x）=e^x+（1+x）e^x=0得x=-2，
当x＜-2时，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-2）上单调递减，
当x＞-2时，f'（x）＞0，f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）的最小值为f（-2）=-e^-2；
（2）当a=-

1

2

时F（x）=(1+

1

2

x)e x×

1

1- 1 2 x

＜1，即

(2-x)e x

2+x

-1＜0
设m（x）=

(2-x)e x

2+x

-1，则m（0）=0，m′(x)=

-x 2e x

(2+x)2

＜0
所以m（x）的单调递减区间是（-∞，-2）和（-2，+∞），
而当x＜-2时，总有

(2-x)e x

2+x

-1＜0成立，
所以不等式F（x）＜1的解集是（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（3）F(x)=

1+ax

1-ax

e x，定义域为{x|x≠

1

a

}
则F′(x)=

-a2x2+2a+1

(1-ax)2

e x=

-a2(x2- 2a+1 a2 )

(1-ax)2

e x，令F′（x）=0，得x2=

2a+1

a2

（a＜0）
①当2a+1＜0，即a＜-

1

2

时，F′（x）＜0
则当a＜-

1

2

时，函数F（x）的单调递减区间是（-∞，

1

a

）和（

1

a

，+∞）．
②当2a+1=0，即a=-

1

2

时，由（2）知，函数F（x）的单调递减区间是（-∞，-2）和（-2，+∞）．
③当2a+1＞0，即-

1

2

＜a＜0时，解x2=

2a+1

a2

得到x1=

2a+1

a

，x2=-

2a+1

a

∵

1

a

＜

2a+1

a

，∴令F′（x）＜0，得到x∈（-∞，

1

a

），x∈（

1

a

，

2a+1

a

），x∈(-

2a+1

a

，+∞)；
令F′（x）＞0，得到x∈（

2a+1

a

，-

2a+1

a

）．
则当-

1

2

＜a＜0时，函数F（x）的单调递减区间是（-∞，

1

a

），（

1

a

，

2a+1

a

），(-

2a+1

a

，+∞)；
函数F（x）的单调递增区间是（

2a+1

a

，-

2a+1

a

）．

点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性问题，考查分类讨论思想，属中档题．