Question

如图，在三棱锥A-BCD中，平行于BC的平面MNPQ分别交AB、AC、CD、BD于M、N、P、Q四点，且MN=PQ．
（1）求证：四边形MNPQ为平行四边形；
（2）试在直线AC上找一点F，使得MF⊥AD．

Answer 1

分析：（1）由线面平行的性质得线线平行，进一步利用平行公理得线线平行，再由已知MN=PQ证得结论；
（2）先找一个过M且与AD垂直的面，面与AC的交点即为要找的F点．

解答：（1）证明：如图，
由已知BC∥平面MNPQ，BC?面ABC，面MNPQ∩面ABC=MN，
由线面平行的性质得，BC∥MN，
又BC∥平面MNPQ，BC?面BCD，面MNPQ∩面BCD=PQ，
由线面平行的性质得，BC∥PQ，
∴MN∥PQ，又由已知MN=PQ，∴四边形MNPQ为平行四边形；
（2）在面ABD中，过M作ME⊥AD，交AD于E，在面ACD中过E作EF⊥AD，交AC于F．
∵ME⊥AD，EF⊥AD，ME∩EF=E，
∴AD⊥面MEF，
∴MF⊥AD．
则AC上的点F为所求．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了空间直线与直线的位置关系，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．