Question

14．已知三棱锥的底面是边长为a的正三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$
• B． $\frac{\sqrt{4}}{8}{a}^{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{32}{a}^{2}$

Answer 1

分析 先求出底面正三角形的面积，再由过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为$\frac{1}{2}$，能求出过各侧棱中点的截面的面积．

解答 解：∵三棱锥的底面是边长为a的正三角形，
∴棱锥的底面面积S=$\frac{1}{2}×a×a×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$²，
∵过各侧棱中点的截面与底面相似，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴过各侧棱中点的截面的面积S′=$（\frac{1}{2}）^{2}S$=$\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥中过各侧棱中点的截面的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意过各侧棱中点的截面与底面相似，由此利用面积比等于相似比的平方合理求解．