Question

已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a

x

且g（x）在x=1处取得极值．求a的值及函数h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：把函数f（x）=lnx代入g（x）=x²-af（x），g（x）在x=1处取得极值，得到g′（1）=0，求得a，把a代入h（x）=x-a

x

，求导，令导数大于零，解不等式得函数h（x）的单调递增区间．

解答：解：∵f（x）=lnx，∴g（x）=x²-af（x）=x²-alnx，
g′（x）=2x-

a

x

∵g（x）在x=1处取得极值
∴g′（1）=0，即2-a=0，
∴a=2，经检验知g（x）=x²-2lnx在x=1处取得极值，
∴a=2；
h（x）=x-2

x

令h′（x）=1-

1

x

＞0，解得x＞1
∴函数h（x）的单调递增区间为（1，+∞）．

点评：考查x=x₀是极值点是f′（x₀）=0的充分非必要条件，应用导数求函数的单调区间的方法，属中档题．