【题目】如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面底面,为上的点,且平面
(1)求证:平面平面;
(2)当三棱锥体积最大时,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2).
【解析】
(1)通过侧面底面,可以证明出面,这样可以证明出
,再利用平面,可以证明出,这样利用线面垂直的判定定理可以证明出面,最后利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;
(2)利用三棱锥体积公式可得,
利用基本不等式可以求出三棱锥体积最大值,此时可以求出的长度,以点为坐标原点,以,和分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.求出相应点的坐标,求出面的一个法向量,面的一个法向量,利用空间向量数量积的运算公式,可以求出二面角的余弦值.
(1)证明:∵侧面底面,侧面底面,四边形为正方形,∴,面,
∴面,
又面,
∴,
平面,面,
∴,
,平面,
∴面,
面,
∴平面平面.
(2),
求三棱锥体积的最大值,只需求的最大值.
令,由(1)知,,
∴,
而,
当且仅当,即时,
的最大值为.
如图所示,分别取线段,中点,,连接,,
以点为坐标原点,以,和分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.
由已知,
所以,
令为面的一个法向量,
则有,
∴
易知为面的一个法向量,
二面角的平面角为,为锐角
则.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底而ABCD是菱形,且PA=AD=2,∠PAD=∠BAD=120°,E,F分别为PD,BD的中点,且.
(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;
(2)求锐二面角E-AC-D的余弦值.
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【题目】矩形ABCD中,,沿对角线AC将三角形ADC折起,得到四面体,四面体 外接球表面积为,当四面体的体积取最大值时,四面体的表面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.
(1)列出甲、乙两种产品满足的关系式,并画出相应的平面区域;
(2)在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大,最大利润是多少?
(用线性规划求解要画出规范的图形及具体的解答过程)
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【题目】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目,邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼。“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成,成员上至古稀老人,下至垂髫小儿,人数按照年龄分组统计如下表:
分组(年龄) | |||
频数(人) |
(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战,求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数;
(2)在(1)中抽出的人中,任选人参加一对一的对抗比赛,求这人来自同一年龄组的概率。
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面B.平面∥平面
C.直线与直线所成角的大小为D.
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【题目】如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个),以下结论错误的是( )
A. 回答该问卷的总人数不可能是100个
B. 回答该问卷的受访者中,选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C. 回答该问卷的受访者中,选择“学校团委会宣传”的人数最少
D. 回答该问卷的受访者中,选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
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