Question

17．设函数f（x）=-ax³-bx+3a+b的图象关于原点对称，它的定义域为[a-1，2a]，则f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，x∈[-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 由定义域[a-1，2a]关于y轴对称，得出a的值，由题意可知函数是奇函数，f（0）=3a+b=0，求出b，即可求f（x）．

解答 解：由定义域[a-1，2a]关于y轴对称，故有a-1+2a=0，得出a=$\frac{1}{3}$，
由题意可知函数是奇函数，∴f（0）=3a+b=0，∴b=-1
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，x∈[-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]．
故答案为：-$\frac{1}{3}$x³+x，x∈[-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查奇函数的定义与性质，考查学生的计算能力，理解对称性很关键．