Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在实数m，使当f（m）=-a时，f（m+3）为正数？
（2）若-∞＜x₁＜x₂＜+∞，f（x₁）≠f（x₂），且方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等的实数根，求证：必有一实根在x₁与x₂之间．

Answer 1

分析 （1）由条件知方程的一根为1，另一根满足-2＜x₂＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．；
（2）构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，进而证明g（x₁）g（x₂）＜0，由函数零点存在定理可得方程g（x）=0在（x₁，x₂）内有一根，故方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]必有一根属于（x₁，x₂）．

解答 解：（1）因为f（1）=0，所以a+b+c=0，
又因为a＞b＞c，所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b²-4ac＞0，
因此f（x）的图象与x轴有2个交点．
可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x₁和x₂，
因为f（1）=0，
所以f（x）=0的一根为x₁=1，
因为x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
所以x₂=-$\frac{b}{a}$-1=$\frac{c}{a}$，
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x₂＜0．
因为要求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x₁，x₂），
因此m∈（-2，1），则m+3＞1，
因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（2）证明：构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
则g（x₁）=f（x₁）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[f（x₂）-f（x₁）]，
于是g（x₁）g（x₂）=$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）][f（x₂）-f（x₁）]
=-$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）]²，
因为f（x₁）≠f（x₂），
所以g（x₁）g（x₂）=-$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）内有一根，
即方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]必有一根属于（x₁，x₂）．

点评 本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，有一定的综合性．