Question

某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a_n=

1     1≤n≤25 1 25 n  26≤n≤60

（单位：万元，n∈N^*），记第n天的利润率b_n=

第n天的时间

前n天投入的资金总和

，例如b₃=

a3

38+a1+a2

．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求第n天的利润率b_n；
（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，b1=

1

38

；当n=2时，b2=

1

39

．
（2）当1≤n≤25时，a₁=a₂=…=a_n-1=a_n=1.bn=

an

38+a1+a2+…+an-1

=

1

38+n-1

=

1

37+n

．当26≤n≤60时，bn=

an

38+a1+…+a25+a26+…+an-1

=

2n

n2-n+2500

，由此能求出第n天的利润率．
（3）当1≤n≤25时，bn=

1

37+n

是递减数列，此时b_n的最大值为b1=

1

38

；当26≤n≤60时，bn=

2n

n2-n+2500

=

2

n+ 2500 n -1

≤

2

2 2500 -1

=

2

99

，由此能求出利润率最大值．

解答：解：（1）当n=1时，b1=

1

38

；当n=2时，b2=

1

39

．（2分）
（2）当1≤n≤25时，a₁=a₂=…=a_n-1=a_n=1．
∴bn=

an

38+a1+a2+…+an-1

=

1

38+n-1

=

1

37+n

．（4分）
当26≤n≤60时，
bn=

an

38+a1+…+a25+a26+…+an-1

=

n 25

63+ (n-26)(n+25) 50

=

2n

n2-n+2500

，（6分）
∴第n天的利润率bn=

1 37+n ，1≤n≤25(n∈N+) 2n n2-n+2500 ，26≤n≤60(n∈N+)

（8分）
（3）当1≤n≤25时，bn=

1

37+n

是递减数列，此时b_n的最大值为b1=

1

38

；（10分）

当26≤n≤60时，

bn=

2n

n2-n+2500

=

2

n+ 2500 n -1

≤

2

2 2500 -1

=

2

99

（当且仅当n=

2500

n

，即n=50时，“=”成立）．（12分）
又∵

1

38

＞

2

99

，∴n=1时，(bn)max=

1

38

．（14分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和分类讨论思想的运用．