Question

14．已知圆0：x²+y²=r²（r＞0）与直线x+2y-5=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若过点（-1，3）的直线l被圆0所截得的弦长为4，求直线1的方程；
（3）若过点A（0，$\sqrt{5}$）作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交圆0于B、C两点，且k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用点到直线的距离公式求出圆的半径，由此能求出圆的方程．
（2）直线l被圆0所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d=$\sqrt{5-4}$=1，分类讨论，即可求直线1的方程；
（3）根据题意，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．

解答 解：（1）∵圆0：x²+y²=r²（r＞0）与直线x+2y-5=0相切，
∴r=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴圆O的方程为x²+y²=5；
（2）∵直线l被圆0所截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{5-4}$=1，
斜率不存在时，x=-1，满足题意；
斜率存在时，设方程为y-3=k（x+1），即kx-y+k+3=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线1的方程为4x+3y-5=0，
综上所述，直线1的方程为4x+3y-5=0或x=-1；
（3）由题意知，设直线AB：y=k₁x+$\sqrt{5}$，
与圆方程联立，消去y得：（1+k₁²）x²+2$\sqrt{5}$k₁x=0，
∴x_B=-$\frac{2\sqrt{5}{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，y_B=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5}{{k}_{1}}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，即B（-$\frac{2\sqrt{5}{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5}{{k}_{1}}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$），
∵k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，用-$\frac{1}{2{k}_{1}}$代替k₂得：C（$\frac{4\sqrt{5}{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4\sqrt{5}{{k}_{1}}^{2}-\sqrt{5}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
∴直线BC方程为y-$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5}{{k}_{1}}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{2{{k}_{1}}^{2}-1}{3{k}_{1}}$（x+$\frac{2\sqrt{5}{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$），
令x=0，可得y=3$\sqrt{5}$
则直线BC定点（0，3$\sqrt{5}$）．

点评 此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．