【题目】已知函数,函数
在点
处的切线斜率为0.
(1)试用含有的式子表示
,并讨论
的单调性;
(2)对于函数图象上的不同两点
,
,如果在函数
图象上存在点
,使得在点
处的切线
,则称
存在“跟随切线”.特别地,当
时,又称
存在“中值跟随切线”.试问:函数
上是否存在两点
使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1),单调性见解析;(2)不存在,理由见解析
【解析】
(1)由题意得,即可得
;求出函数
的导数
,再根据
、
、
、
分类讨论,分别求出
、
的解集即可得解;
(2)假设满足条件的、
存在,不妨设
,
且
,由题意得
可得
,令
(
),构造函数
(
),求导后证明
即可得解.
(1)由题可得函数的定义域为
且
,
由,整理得
.
.
(ⅰ)当时,易知
,
,
时
.
故在
上单调递增,在
上单调递减.
(ⅱ)当时,令
,解得
或
,则
①当,即
时,
在
上恒成立,则
在
上递增.
②当,即
时,当
时,
;
当时,
.
所以在
上单调递增,
单调递减,
单调递增.
③当,即
时,当
时,
;当
时,
.
所以在
上单调递增,
单调递减,
单调递增.
综上,当时,
在
上单调递增,在
单调递减.
当时,
在
及
上单调递增;
在
上单调递减.
当时,
在
上递增.
当时,
在
及
上单调递增;
在
上递减.
(2)满足条件的、
不存在,理由如下:
假设满足条件的、
存在,不妨设
,
且
,
则,
又,
由题可知,整理可得:
,
令(
),构造函数
(
).
则,
所以在
上单调递增,从而
,
所以方程无解,即
无解.
综上,满足条件的A、B不存在.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,对于点
,若函数
满足:
,都有
,就称这个函数是点A的“限定函数”.以下函数:①
,②
,③
,④
,其中是原点O的“限定函数”的序号是______.已知点
在函数
的图象上,若函数
是点A的“限定函数”,则实数a的取值范围是______.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的短轴两端点与左焦点围成的三角形面积为3,短轴两端点与长轴一端点围成的三角形面积为2,设椭圆
的左、右顶点分别为
是椭圆
上除
两点外一动点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左焦点作平行于直线
(
是坐标原点)的直线
,
与曲线
交于
两点,点
关于原点
的对称点为
,求证:
成等比数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为
,点D在椭圆C上,
的周长为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过圆上任意一点P作圆E的切线l,若l与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求证:
为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是椭圆
与抛物线
的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点
.
(1)求椭圆及抛物线
的方程;
(2)设过且互相垂直的两动直线
,
与椭圆
交于
两点,
与抛物线
交于
两点,求四边形
面积的最小值
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中,
为底面正方形的中心,
,
分别为侧棱
,
的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面
B.平面
∥平面
C.直线与直线
所成角的大小为
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com