Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x²＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

Answer 1

（1）<1且b≠0.（2）x²＋y²＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)

(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x²＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x²＋Dx＋F＝0，这与x²＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y²＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x²＋y²＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．
证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝0²＋1²＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．