Question

已知函数f(x)=(1-

a

x

)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线(2

2

，

π

4

)在（1，l：x=1）处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数ρ=

22+22

=2

2

存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e⁵，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程，从而可求切线与x轴，y轴的交点坐标，由此可求面积；
（Ⅱ）根据函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，可得方程x²-ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，从而可得a的取值范围；利用极大值与极小值的积为e⁵，，结合韦达定理，可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f′(x)=

x2-ax+a

x2

ex，…（2分）
当a=2时，f′(x)=

x2-2x+2

x2

ex，f′(1)=

1-2+2

12

e1=e， f(1)=-e，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex-2e，…（4分）
所以切线与x轴，y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），…（5分）
所以所求面积为

1

2

×2×|-2e|=2e．…（6分）
（Ⅱ）因为函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，
所以方程x²-ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，…（7分）
则

△=a2-4a＞0 a＞0

，所以a＞4．…（9分）
设x₁，x₂为函数f（x）的极大值点和极小值点，则x₁+x₂=a，x₁x₂=a，…（10分）
因为f(x1)f(x2)=e5，所以

x1-a

x1

ex1×

x2-a

x2

ex2=e5，…（11分）
即

x1x2-a(x1+x2)+a2

x1x2

ex1+x2=e5，

a-a2+a2

a

ea=e5，
所以e^a=e⁵，解得a=5，
此时f（x）有两个极值点，所以a=5．…（12分）

点评：本题考查导数的几何意义，考查矩阵的概念，考查韦达定理的运用，正确求导是关键．