Question

若(

x

+

1

2 4 x

)n展开式中前三项系数成等差数列，求：
（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x的有理项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出通项，求出前三项系数，列出方程求出n；令通项中的x=1求出展开式中含x的一次幂的项．
（2）令通项中的x为有理数得到展开式中所有x的有理项．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展开式的通项Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

∴前三项的系数分别为

C

0 n

 ， 

1

2

C

1 n

 ， 

1

4

C

2 n

成等差数列，
n=1+

n(n-1)

8

  n²-9n+8=0  n=8或n=1（舍去）
含x的一次项为：T5=

C

4 8

•(

x

)4•(

1

2 4 x

)4=

35

8

x，
（2）所有的有理项为：x4 ， 

35

8

x ， 

1

256x2

．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式，解决二项展开式的特定项问题．