【题目】已知四棱锥,底面
为菱形,
为
上的点,过
的平面分别交
于点
,且
平面
.
(1)证明: ;
(2)当为
的中点,
,
与平面
所成的角为
,求平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)连交
于点
,连
,则得
,进而可得
平面
,于是
.由线面平行的性质可得
,所以得
.(2)由条件可得
两两垂直,建立空间直角坐标系,然后分别求出平面AMHN与平面ABCD的法向量,通过两法向量的夹角的余弦值可得所求.
试题解析:
(1)证明:连交
于点
,连
.
因为四边形为菱形,
所以,且
为
、
的中点.
因为,
所以,
又且
平面
,
所以平面
,
因为平面
,
所以.
因为平面
,
平面
,平面
平面
,
所以,
所以.
(2)由(1)知且
,
因为,且
为
的中点,
所以,
又,
所以平面
,
所以与平面
所成的角为
,
所以,
因为,
所以.
分别以为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
.
设,则
,
所以
设平面的法向量为
,
则,令
,得
.
由题意可得平面的法向量为
,
所以.
所以平面AMHN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为.
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【题目】设,
,…,
是1,2,…,
的一个排列,把排在
的左边且比
小的数的个数称为
的顺序数,如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数为1,3的顺序数为0,则在1至8这8个数的排列中,8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数为
A. 96B. 144C. 192D. 240
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【题目】如图,在棱长均相等的四棱锥中,
为底面正方形的中心,
,
分别为侧棱
,
的中点,有下列结论正确的有:( )
A.∥平面
B.平面
∥平面
C.直线与直线
所成角的大小为
D.
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【题目】如图所示,图①是棱长为1的小正方体,图②,③是由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放,由上而下分别将第1层,第2层,…,第层的小正方体的个数记为
,解答下列问题:
(1)按照要求填表:
1 | 2 | 3 | 4 | … | |
1 | 3 | 6 | _ | … |
(2)__________.
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【题目】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,甲、乙两人只有一人被选中的概率为,两人都被选中的概率为
,丙被选中的概率为
,且三人各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求恰好有2人被选中的概率;
(3)求3人中至少有1人被选中的概率.
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【题目】给出下列两组数据:甲:12,13,11,10,14.乙:10,17,10,13,10.
(1)分别计算两组数据的平均差,并根据计算结果判断哪组数据波动大.
(2)分别计算两组数据的方差,并根据计算结果判断哪组数据波动大.
(3)以上两种判断方法的结果是否一致?
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【题目】若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数的图象与性质.列表:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | … | |||||||||
y | … | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
描点:在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.
(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点,
,
,
在函数图象上,
,
;(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值时,求自变量x的值;
③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点
,
,且
,求
的值;
④若直线与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
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