Question

（2008•深圳二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆C的右准线上的点P(2，

3

)，满足线段PF₁的中垂线过点F₂．直线l：y=kx+m为动直线，且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足

OA

+

OB

=λ

OQ

（O为坐标原点），求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△ABO的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系数法求椭圆的方程，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根据在椭圆C的右准线上的点P(2，

3

)，满足线段PF₁的中垂线过点F₂．可得几何量之间的关系，进而可得椭圆方程；
（Ⅱ）减法直线方程与椭圆方程联立

y=kx+m x2+2y2=2

，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由此可得

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2 .

，根据

OA

+

OB

=λ

OQ

，可得

xQ= 1 λ (x1+x2) yQ= 1 λ (y1+y2).

利用点Q在椭圆上，可得方程4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．进而可确定实数λ的取值范围
（Ⅲ）由于|AB|=

1+k2

|x1-x2|，点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

，故可表示△AOB的面积，可整理成关于λ的函数S=

2

4

λ2(4-λ2)

，进而可求△ABO的面积最大值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，
依题意有

a2 c =2 (2c)2-(2-c)2=3.

解得

c=1 a= 2 .

∴b=1．
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．        　　　 　 …3分
（Ⅱ）由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2 .

…5分y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

．
（1）当m=0时，点A、B关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点A、B不关于原点对称，则λ≠0，
由

OA

+

OB

=λ

OQ

，得

xQ= 1 λ (x1+x2) yQ= 1 λ (y1+y2).

即

xQ= -4km λ(1+2k2) yQ= 2m λ(1+2k2) .

∵点Q在椭圆上，
∴有[

-4km

λ(1+2k2)

]2+2[

2m

λ(1+2k2)

]2=2，
化简，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
将①、②两式，得φ（x）=2elnx（e．∵m≠0，∴λ²＜4，则-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2． …9分
注：此题可根据图形得出当m=0时λ=0，当A、B两点重合时λ=±2．
如果学生由此得出λ的取值范围是-2＜λ＜2可酌情给分．
（Ⅲ）∵|AB|=

1+k2

|x1-x2|，点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

，
∴△AOB的面积S=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 |m| 1+2k2-m2

1+2k2

．           …12分
由①有1+2k2=

4m2

λ2

，代入上式并化简，得S=

2

4

λ2(4-λ2)

．∵

λ2(4-λ2)

≤2，
∴S≤

2

2

．                    …13分
当且仅当λ²=4-λ²，即λ=±

2

时，等号成立．
∴当λ=±

2

时，△ABO的面积最大，最大值为

2

2

． …14分．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a²=b²+c²；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解．