Question

3．设定义域为R的奇函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+a}}-\frac{1}{2}$（a为实数）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性（不必证明），并求出f（x）的值域；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（k-$\frac{2}{x}$）+f（2-x）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（0）=0，可求得a的值；
（Ⅱ）可判断f（x）在R上单调递减，由$\frac{1}{{{2^x}+1}}∈（{0\;，\;1}）$可求得$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$的值域；
（Ⅲ）由任意的x∈[1，4]，不等式f（k-$\frac{2}{x}$）+f（2-x）＞0恒成立可得$k＜\frac{2}{x}+x-2$，构造函数令$g（x）=\frac{2}{x}+x-2\;，\;x∈[{1\;，\;4}]$，利用”对勾“函数的性质可求得g_min（x），从而可求得实数k的取值范围．

解答 （本题满分15分）
解：（Ⅰ）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，从而a=1，此时$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$，经检验，f（x）为奇函数，所以a=1满足题意．------------------（3分）（不检验不扣分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+1}}-\frac{1}{2}$，
所以f（x）在R上单调递减，-------------（6分）
由2^x＞0知2^x+1＞1，所以$\frac{1}{{{2^x}+1}}∈（{0\;，\;1}）$，----------（7分）
故得f（x）的值域为$（{-\frac{1}{2}\;，\;\frac{1}{2}}）$．---------------（9分）
（Ⅲ）因为f（x）为奇函数，故由$f（{k-\frac{2}{x}}）+f（{2-x}）＞0$得$f（{k-\frac{2}{x}}）＞-f（{2-x}）=f（{x-2}）$，-----------（11分）
又由（Ⅱ）知f（x）为减函数，故得$k-\frac{2}{x}＜x-2$，即$k＜\frac{2}{x}+x-2$．-----------------（12分）
令$g（x）=\frac{2}{x}+x-2\;，\;x∈[{1\;，\;4}]$，则依题只需k＜g_min（x）．
由”对勾“函数的性质可知g（x）在$[{1\;，\;\sqrt{2}}]$上递减，在$[{\sqrt{2}\;，\;4}]$上递增，所以${g_{min}}（x）=g（{\sqrt{2}}）=2\sqrt{2}-2$．--------（14分）
故k的取值范围是$（{-∞\;，\;2\sqrt{2}-2}）$．--------（15分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查构造函数思想与等价转化思想的运用，属于难题．