Question

（2013•黑龙江二模）选修4-1：几何证明选讲
如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，
（Ⅰ）求∠ADF的值
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（I）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．
（II）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．
进而得到△ACE∽△BCA，于是

AC

BC

=

AE

AB

=tan30°．

解答：解：（I）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．
∴∠ADF=45°．
（II）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴

AC

BC

=

AE

AB

=tan30°=

3

3

．

点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．