Question

9．已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=-22．
（1）求通项a_n；
（2）求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃，a₄是方程x²+22x+117=0的两个实数根，且a₃＜a₄，从而得到a₁=-21，d=4，由此能求出通项a_n．
（2）S_n=-21n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-23n，由此利用配方法能求出S_n的最小值．

解答 解：（1）∵公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=-22．
∴a₃+a₄=a₂+a₅=-22．
∴a₃，a₄是方程x²+22x+117=0的两个实数根，且a₃＜a₄，
解方程x²+22x+117=0，得a₃=-13，a₄=-9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=-13}\\{{a}_{1}+3d=-9}\end{array}\right.$，解得a₁=-21，d=4，
∴a_n=a₁+（n-1）d=4n-25．
（2）∵a₁=-21，d=4，
∴S_n=-21n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-23n=2（n-$\frac{23}{4}$）²-$\frac{539}{8}$．
∴当n=6时，S_n取最小值${S}_{6}=2（6-\frac{23}{4}）^{2}-\frac{539}{8}$=-66．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．