【题目】已知f(x)=x2+(a+1)x+a2(a∈R),若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和.
(1)求g(x)和h(x)的解析式;
(2)若f(x)和g(x)在区间(-∞,(a+1)2]上都是减函数,求f(1)的取值范围.
【答案】(1)g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+a2; (2).
【解析】
(1)先设所以
,解方程组即得g(x)、h(x).(2)由题得-
≥(a+1)2且a+1<0,从而-
≤a<-1,再利用二次函数求f(1)的取值范围.
(1) 设所以
,
解之即得g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+a2.
(2)因为f(x)和g(x)在区间(-∞,(a+1)2]上都是减函数,
所以-≥(a+1)2,即-
≤a≤-1,
且a+1<0,即a<-1,
从而 -≤a<-1,
又f(1)=a+2+a2,可看成是关于变量a的函数f(a),又f(a)在区间[-,-1)上单调递减,所以f(1)的取值范围为2<f(1)≤
.
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【题目】已知椭圆的离心率是
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
,直线
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当实数变化时,求
的最大值;
(3)求面积的最大值.
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【题目】已知函数(
且
).
(1)当时,函数
恒有意义,求实数
的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得函数
在区间
上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知数列{an},a1=1,且an﹣1﹣an﹣1an﹣an=0(n≥2,n∈N*),记bn=a2n﹣1a2n+1 , 数列{bn}的前n项和为Tn , 则满足不等式Tn< 成立的最大正整数n为 .
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【题目】已知双曲线:
.
(1)已知直线与双曲线
交于不同的两点
,且
,求实数
的值;
(2)过点作直线
与双曲线
交于不同的两点
,若弦
恰被点
平分,求直线
的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,且椭圆
上一点
到点
的距离的最大值为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,
为抛物线
:
上一动点,过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式,并求函数f(x)在[﹣ ,
]上的值域;
(2)在△ABC中,AB=3,AC=2,f(A)=1,求sin2B.
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